Varias variables aleatorias
Introducción
Muchos experimentos aleatorios involucran varias variables aleatorias.
Por ejemplo, dado un individuo de 30 años escogido al azar de una cierta población, medir su altura y su peso conjuntamente.
Otro ejemplo más complejo sería la medición continuada de un fenómeno aleatorio que se repite en el tiempo, como sería medir la temperatura media un día determinado del año, por ejemplo el día 1 de enero en un cierto lugar.
La variable aleatoria que nos da la medición en 10 años sería una variable aleatoria de varias variables que involucra 10 variables aleatorias supuestas independientes e idénticamente distribuïdas, lo que en estadística inferencial se le llama una muestra aleatoria simple.
Dos variables aleatorias. Definición
Recordemos que una variable aleatoria \(X\) es una aplicación que toma valores numéricos para cada resultado de un experimento aleatorio: \[ \begin{array}{rl} X: \Omega & \longrightarrow \mathbb{R}\\ w & \longrightarrow X(w). \end{array} \] A partir de la definición anterior, generalizamos la noción de variable aleatoria unidimensional a variable aleatoria bidimensional:
Dos variables aleatorias. Ejemplos
Ejemplo
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos dados no trucados.
Sea \(S\) la suma de los resultados obtenidos y \(P\) el producto de los mismos.
La variable aleatoria \((S,P)\) que asigna a cada resultado \(w=(x_1,x_2)\) donde \(x_1\) es el resultado obtenido per el primer dado y \(x_2\), el resultado obtenido por el segundo los valores: \(S(w)=x_1+x_2\) y \(P(w)=x_1\cdot x_2\) seria una variable aleatoria bidimensional.
El suceso \(\{2\leq S\leq 4,\ 3\leq P\leq 6\}\) seria: \[ \{2\leq S\leq 4,\ 3\leq P\leq 6\} = \{(1,3),(3,1),(2,2)\}. \]
Ejemplo
Consideremos el experimento aleatorio de elegir al azar un estudiante de primer curso de grado. Sea \(w\) el estudiante elegido. Consideremos la variable aleatoria \((H,W)\) que asigna a dicho estudiante \(w\), \(H(w):\) la altura de dicho estudiante en cm. y \(W(w):\) el peso de dicho estudiante en kg.
Estamos interesado en sucesos del tipo \(A=\{H\leq 176,\ W\leq 85\}\), o sea, el conjunto de estudiantes que miden menos de 1.76 m. y que pesan menos de 85 kg.
Dos variables aleatorias. Introducción
Los sucesos que se derivan de una variable aleatoria bidimensional estan especificados por regiones del plano. Veamos algunos ejemplos:
Suceso: \(\{X+Y\leq 1\}\). Sería la zona sombreada del gráfico siguiente:
Dos variables aleatorias. Introducción
Suceso: \(\{X^2+Y^2\leq 4\}\). Sería la zona sombreada del gráfico siguiente:
Dos variables aleatorias. Introducción
Suceso: \(\{\max\{X,Y\}\geq 1\}\). Sería la zona sombreada del gráfico siguiente:
Dos variables aleatorias. Introducción
La probabilidad de que la variable bidimensional pertenezca a una cierta región del plano \(B\) se define de la forma siguiente: \[ P((X,Y)\in B)=P\{w\in \Omega,\ |\ (X(w),Y(w))\in B\}, \] o sea, la probabilidad anterior es la probabilidad del suceso formado por los elementos de \(w\in\Omega\) que cumplen que su imagen por la variable aleatoria bidimensional \((X,Y)\) esté en \(B\).
Por ejemplo, si consideramos \(B=\{X+Y\leq 1\}\), \(P((X,Y)\in B)\) sería la probabilidad del suceso formado por los elementos \(w\) de \(\Omega\) tal que la suma de las imágenes por \(X\) e \(Y\) sea menor o igual que 1: \(X(w)+Y(w)\leq 1\).
Función de distribución conjunta
Función de distribución conjunta. Introducción
Dada una variable aleatoria bidimensional \((X,Y)\), queremos estudiar cómo se distruye la probabilidad de sucesos cualesquiera de la forma \(\{(X,Y)\in B\}\), donde \(B\) es una región del plano.
Para ello, definimos la función de distribución conjunta:
Función de distribución conjunta. Introducción
Función de distribución conjunta. Introducción
Entonces la función de distribución conjunta en el valor \((x,y)\) es la probabilidad del suceso formado por aquellos elementos tal que la imagen por la variable aleatoria bidimensional \((X,Y)\) caen dentro de la región sombreada en el gráfico anterior:
\[ \begin{array}{rl} F_{XY}(x,y) & =P\{w\in\Omega,\ |\ (X(w),Y(w))\in (-\infty,x]\times (-\infty,y]\} \\ & = P\{w\in\Omega,\ |\ X(w)\leq x,\ Y(w)\leq y\}. \end{array} \]
Función de distribución conjunta. Propiedades
Sea \((X,Y)\) una variable bidimensional. Sean \(F_{XY}\) su función de distribución conjunta. Dicha función satisface las propiedades siguientes:
La función de distribución conjunta es no decreciente en cada una de las variables: \[ \mbox{Si }x_1\leq x_2, \mbox{ y }y_1\leq y_2,\mbox{ entonces, }F_{XY}(x_1,y_1)\leq F_{XY}(x_2,y_2). \]
\(F_{XY}(x,-\infty)=F_{XY}(-\infty,y)=0,\) \(F_{XY}(\infty,\infty)=1\), para todo \(x,y\in\mathbb{R}\).
Función de distribución conjunta. Propiedades
Las variables aleatorias \(X\) e \(Y\) se llaman variables aleatorias marginales y sus funciones de distribución \(F_X\) y \(F_Y\) pueden hallarse de la forma siguiente como función de la función de distribución conjunta \(F_{XY}\): \[ F_X(x)=F_{XY}(x,\infty),\ F_Y(y)=F_{XY}(\infty,y), \] para todo \(x,y\in\mathbb{R}\).
La función de distribución conjunta es continua por el “norte” y por el “este”: \[ \begin{array}{rl} \lim_{x\to a^+}F_{XY}(x,y) & =\lim_{x\to a, x> a}F_{XY}(x,y)=F_{XY}(a,y), \\ \lim_{y\to b^+}F_{XY}(x,y) & =\lim_{y\to b, y> b}F_{XY}(x,y)=F_{XY}(x,b), \end{array} \] para todo \(a,b\in\mathbb{R}\). Ver figura siguiente.
Función de distribución conjunta. Propiedades
Función de distribución conjunta. Propiedades
- Dados \(x_1<x_2\) y \(y_1<y_2\), consideramos \(B\) el rectángulo de vértices \((x_1,y_1)\), \((x_1,y_2)\), \((x_2,y_1)\) y \((x_2,y_2)\): \((x_1,x_2]\times (y_1,y_2]\). Entonces, \[ \begin{array}{rl} P((X,Y)\in B) = & F_{XY}(x_2,y_2)-F_{XY}(x_2,y_1)-F_{XY}(x_1,y_2)\\ & +F_{XY}(x_1,y_1). \end{array} \]
Función de distribución conjunta. Propiedades
Función de distribución conjunta. Ejemplo
Ejemplo
Consideremos una variable aleatoria bidimensional \((X,Y)\) con función de distribución conjunta: \[ F_{XY}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{si }x<0,\mbox{ o }y<0,\\ xy, & \mbox{si }0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1, \\ x, & \mbox{si }0\leq x\leq 1,\ y> 1, \\ y, & \mbox{si }0\leq y\leq 1,\ x> 1, \\ 1, & x\geq 1,\ y\geq 1. \end{cases} \] En la figura siguiente, hemos representado por zonas cómo está definida \(F_{XY}\).
Función de distribución conjunta. Ejemplo
Función de distribución conjunta. Ejemplo
Comprobemos algunas de las propiedades que hemos enunciado anteriormente:
Claramente \(F_{XY}(x,-\infty)=F_{XY}(-\infty,y)=0\) ya que \(F_{XY}(x,y)=0\) si \(x<0\) o \(y<0\). Por tanto, si hacemos tender \(x\) o \(y\) hacia \(-\infty\), obtendremos que \(F_{XY}(x,-\infty)=F_{XY}(-\infty,y)=0\).
De la misma manera \(F_{XY}(\infty,\infty)=1\) ya que \(F_{XY}(x,y)=1\) para \(x>1\) e \(y>1\). Por tanto, si hacemos tender \(x\) e \(y\) hacia \(\infty\), obtendremos \(F_{XY}(\infty,\infty)=1\).
Hallemos las marginales: \[ F_X(x)=F_{XY}(x,\infty)=\begin{cases} 0, & \mbox{ si }x<1,\\ x, & \mbox{ si } 0\leq x\leq 1,\\ 1, & \mbox{ si } x>1. \end{cases} \] Para ver la expresión anterior basta trazar la recta vertical \(X=x\) en el gráfico anterior y ver hacia dónde tiende a medida que la \(y\) se va hacia \(\infty\).
¿Habéis averiguado cuál es la distribución de \(X\)?
Función de distribución conjunta. Ejemplo
¡Efectivamente!, \(X\) es la uniforme en el intervalo \((0,1)\).
Dejamos como ejercicio hallar la distribución marginal para la variable \(Y\).
- Comprobemos que \(F_{XY}\) es continua por el “norte” y el “este” en el punto \((1,1)\) que sería un punto problemático: \[ \lim_{x\to 1,x> 1} F_{XY}(x,1)=\lim_{x\to 1,x> 1} 1 = F_{XY}(1,1),\ \lim_{y\to 1,y> 1} F_{XY}(1,y)=\lim_{y\to 1,y> 1} 1 = F_{XY}(1,1). \]
Función de distribución conjunta. Ejemplo
Ejemplo: lanzamiento de dos dados no trucados
Consideremos el experimento aleatorio de lanzar dos dados no trucados.
Sea \((S,P)\) la variable aleatoria bidimensional que nos da la suma y el producto de los resultados obtenidos, respectivamente.
La función de distribución conjunta en el valor \((3,4)\) será: \[ F_{XY}(3,4) = P(S\leq 3,\ P\leq 4)=P\{(1,1), (1,2), (2,1) \}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\approx 0.083, \] ya que \(\Omega\) tiene en total \(36\) resultados: \[ \Omega =\{(1,1),(1,2).\ldots, (6,6)\}. \] y los únicos resultados en los que la suma es menor o igual que 3 y el producto menor o igual que 4 son \((1,1)\) (suma 2 producto 1), \((1,2)\) (suma 3 y producto 2) y \((2,1)\) (suma 3 y producto 2).
Función de distribución conjunta. Ejemplo
Ejercicio
Hallar el valor de la función de distribución conjunta para la variable aleatoria bidimensional anterior \((S,P)\) en los valores \((i,j)\) siguientes: \((4,5),\ (4,9),\ (5,9),\ (6,10)\).
Variables aleatorias bidimensionales discretas
Variables aleatorias bidimensionales discretas. Introducción
En la mayoría de los casos, dicho conjunto será un subconjunto de los enteros naturales.
Variables aleatorias bidimensionales discretas. Ejemplo
Ejemplo
La variable aleatoria bidimensional anterior que nos daba la suma y el producto de los resultados obtenidos por los dos dados, respectivamente es discreta ya que: \[ \begin{array}{rl} (S,P)(\Omega) & =\{(2,1),(3,2),(4,3),(4,4),(5,4),(5,6),(6,5),(6,8),(6,9),(7,6),(7,10),(7,12),(8,12),\\ & (8,15),(8,16),(9,18),(9,20),(10,24),(10,25),(11,30),(12,36)\}. \end{array} \]
Variables aleatorias bidimensionales discretas. Ejemplo
Ejercicio
Comprobar que el conjunto \((S,P)(\Omega)\) dado por el ejemplo coincide con la expresión dada. O sea, hallar el conjunto \((S,P)(\Omega)\): \[ \begin{array}{rl} (S,P): \Omega & \longrightarrow \mathbb{R}^2\\ (1,1) & \longrightarrow (S(1,1),P(1,1))=(2,1),\\ (1,2) & \longrightarrow (S(1,2),P(1,2))=(3,2),\\ \vdots & \vdots \\ (6,6) & \longrightarrow (S(6,6),P(6,6))=(12,36). \end{array} \]
Función de probabilidad conjunta
Función de probabilidad conjunta
Por tanto, de cara a calcular \(P_{XY}\) basta calcular \(P_{XY}(x_i,y_j)\) para \((x_i,y_j)\in (X,Y)(\Omega)\):
| \(X/Y\) | \(y_1\) | \(y_2\) | \(\ldots\) | \(y_N\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | \(P_{XY}(x_1,y_1)\) | \(P_{XY}(x_1,y_2)\) | \(\ldots\) | \(P_{XY}(x_1,y_N)\) |
| \(x_2\) | \(P_{XY}(x_2,y_1)\) | \(P_{XY}(x_2,y_2)\) | \(\ldots\) | \(P_{XY}(x_2,y_N)\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(x_M\) | \(P_{XY}(x_M,y_1)\) | \(P_{XY}(x_M,y_2)\) | \(\ldots\) | \(P_{XY}(x_M,y_N)\) |
Función de probabilidad conjunta. Ejemplo
Ejemplo de la suma y el producto de los resultados del lanzamiento de dos dados
La función de probabilidad conjunta será:| \(S/P\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 | 20 | 24 | 25 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Función de probabilidad conjunta. Ejemplo
| \(S/P\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 | 20 | 24 | 25 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 |
| 11 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 |
| 12 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{1}{36}\) |
Propiedades de la función de probabilidad conjunta
Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional discreta con conjunto de valores \((X,Y)(\Omega)=\{(x_i,y_j)\, i=1,2,\ldots,\ j=1,2,\ldots\}\). Entonces su función de probabilidad conjunta verifica las propiedades siguientes:
La suma de todos los valores de la función de probabilidad conjunta sobre el conjunto de valores siempre vale 1: \[\sum_{i}\sum_j P_{XY}(x_i,y_j)=1.\]
Propiedades de la función de probabilidad conjunta
Sea \(B\) una región del plano. El valor de la probabilidad \(P((X,Y)\in B)\) se puede calcular de la forma siguiente: \[ P((X,Y)\in B) =\sum_{(x_i,y_j)\in B} P_{XY}(x_i,y_j). \] O sea, la probabilidad de que la variable bidimensional coja valores en \(B\) es igual a la suma de todos aquellos valores de la función de probabilidad conjunta que están en \(B\).
Propiedades de la función de probabilidad conjunta
En particular, tenemos la relación siguiente que relaciona la función de distribución conjunta con la función de probabilidad conjunta: \[ F_{XY}(x,y)=\sum_{x_i\leq x, y_j\leq y} P_{XY}(x_i,y_j). \] Dicha expresión se deduce de la expresión anterior considerando \(B=(-\infty,x]\times (-\infty,y]\).
Propiedades de la función de probabilidad conjunta. Ejemplo
Ejemplo de la suma y el producto de los resultados del lanzamiento de dos dados
Ejercicio
Comprobad usando la tabla de la función de probabilidad conjunta que la suma de todos sus valores suma 1.
Apliquemos la fórmula que relaciona la función de distribución conjunta con la función de probabilidad conjunta para \((x,y)=(5,4)\).
Recordemos la tabla de la función de probabilidad conjunta hasta \(S=5\) y \(P=4\):
Propiedades de la función de probabilidad conjunta. Ejemplo
| \(S/P\) | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | \(\frac{1}{36}\) | 0 | 0 | 0 | \(\ldots\) |
| 3 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | 0 | 0 | \(\ldots\) |
| 4 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\ldots\) |
| 5 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{2}{36}\) | \(\ldots\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Propiedades de la función de probabilidad conjunta. Ejemplo
Observamos que los únicos valores \((x_i,y_j)\in (X,Y)(\Omega)\) que verifican \(x_i\leq 5\) y \(y_j\leq 4\) son \((2,1)\), \((3,2)\), \((4,3)\), \((4,4)\) y \((5,4)\). Por tanto, \[ \begin{array}{rl} F_{SP}(5,4) & = P_{SP}(2,1)+P_{SP}(3,2)+P_{SP}(4,3)+P_{SP}(4,4)+P_{SP}(5,4) \\ & = \frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}+\frac{2}{36} = \frac{8}{36}=\frac{2}{9}. \end{array} \] O sea, “a la larga”, de cada 9 veces que lanzamos dos dados, 2 veces obtenemos un resultado cuya suma es menor o igual que 5 y cuyo producto es menor o igual que 4.
Variables aleatorias marginales
Consideremos una variable aleatoria bidimensional discreta \((X,Y)\) con función de probabilidad conjunta \(P_{XY}(x_i,y_j)\), con \((x_i,y_j)\in (X,Y)(\Omega)\), \(i=1,2,\ldots\), \(j=1,2,\ldots\).
La tabla de la función de probabilidad conjunta contiene suficiente información para obtener las funciones de probabilidad de las variables \(X\) e \(Y\).
Dichas variables \(X\) e \(Y\) se denominan distribuciones marginales y sus correspondientes funciones de probabilidad, funciones de probabilidad marginales \(P_X\) de la variable \(X\) y \(P_Y\) de la variable \(Y\).
Veamos cómo obtener \(P_X\) y \(P_Y\) a partir de la tabla \(P_{XY}\).
Variables aleatorias marginales
Las funciones de probabilidad marginales \(P_X(x_i)\) y \(P_Y(y_j)\) se calculan usando las expresiones siguientes: \[ \begin{array}{rl} P_X(x_i) & = \sum_{j=1} P_{XY}(x_i,y_j),\ i=1,2,\ldots,\\ P_Y(y_j) & = \sum_{i=1} P_{XY}(x_i,y_j),\ \ j=1,2,\ldots \end{array} \]
Variables aleatorias marginales
O sea, si pensamos \(P_{XY}\) como una tabla bidimensional donde en la primera fila están los valores de la variable \(Y\) (\(y_1,y_2,\ldots\)) y en la primera columna están los valores de la variable \(X\) (\(x_1,x_2,\ldots\)), para obtener la función de probabilidad marginal de la variable \(X\) en el valor \(x_i\), \(P_X(x_i)\), hay que sumar todos los valores de \(P_{XY}(x_i,y_j)\) correspondientes a la fila \(i\)-ésima y para obtener la función de probabilidad marginal de la variable \(Y\) en el valor \(y_j\), \(P_Y(y_j)\), hay que sumar todos los valores de \(P_{XY}(x_i,y_j)\) correspondientes a la columna \(j\)-ésima.
Variables aleatorias marginales. Ejemplo
Ejemplo de la suma y el producto de los resultados del lanzamiento de dos dados
Hallemos la función de probabilidad marginal para la suma de los resultados \(S\) usando la expresión vista: \[ \begin{array}{rl} P_S(2) & = P_{SP}(2,1)=\frac{1}{36},\\ P_S(3) & = P_{SP}(3,2)=\frac{2}{36},\\ P_S(4) & = P_{SP}(4,3)+P_{SP}(4,4)=\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12},\\ P_S(5) & = P_{SP}(5,4)+P_{SP}(5,6)=\frac{2}{36}+\frac{2}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9},\\ P_S(6) & = P_{SP}(6,5)+P_{SP}(6,8)+P_{SP}(6,9)=\frac{2}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{5}{36},\\ P_S(7) & = P_{SP}(7,6)+P_{SP}(7,10)+P_{SP}(7,12)=\frac{2}{36}+\frac{2}{36}+\frac{2}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},\\ P_S(8) & = P_{SP}(8,12)+P_{SP}(8,15)+P_{SP}(8,16)=\frac{2}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{5}{36},\\ P_S(9) & = P_{SP}(9,18)+P_{SP}(9,20)=\frac{2}{36}+\frac{2}{36}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9},\\ P_S(10) & = P_{SP}(10,24)+P_{SP}(10,25)=\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12},\\ P_S(11) & = P_{SP}(11,30)=\frac{2}{36},\\ P_S(12) & = P_{SP}(12,36)=\frac{1}{36}. \end{array} \]
Variables aleatorias marginales. Ejemplo
La función de probabilidad marginal de la suma \(S\) queda resumida en la tabla siguiente:
| \(S\) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P_S\) | \(\frac{1}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{5}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) | \(\frac{3}{36}\) | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
Ejercicio
Consideremos el ejemplo anterior de la suma y el producto de los resultados del lanzamiento de dos dados.
Calcular la función de probabilidad marginal del producto \(P\) de los resultados.
Variables aleatorias bidimensionales continuas
Introducción
Recordemos la definición de variable continua unidimensional: \(X\) es continua si existe una función \(f_X:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\), llamada función de densidad no negativa \(f_X(x)\geq 0\), para todo \(x\in\mathbb{R}\) tal que para cualquier intervalo \((a,b)\), la probabilidad de que \(X\) esté en \((a,b)\) se calcula de la forma siguiente: \[ P(X\in B)=P(a< X < b)=\int_B f_{X}(x)\,du=\int_a^b f_{X}(x)\,dx. \]
Introducción
La generalización natural será, entonces:
Ejemplo
Ejemplo
Consideremos la función de densidad siguiente: \[ f_{XY}(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{ si }0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1, \\ 0, & \mbox{en caso contrario.} \end{cases} \] En este caso, si consideramos \(B=\left[-1,\frac{1}{2}\right]\times \left[-1,\frac{1}{2}\right]\), la probabilidad de que \((X,Y)\) esté en \(B\) se calcularía de la forma siguiente: \[ P((X,Y)\in B)=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\int_{-1}^{\frac{1}{2}} f_{XY}(x,y)\, dx\, dy =\int_0^{\frac{1}{2}}\int_0^{\frac{1}{2}} 1\, dx\,dy=\int_0^{\frac{1}{2}} 1\, dx\int_0^{\frac{1}{2}} 1\, dy=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. \] En la figura siguiente hemos dibujado en morado la región donde \(f_{XY}\) no es cero, o sea \([0,1]\times [0,1]\), la región \(B\) en verde y la región intersección de las dos anteriores que es donde tenemos que integrar la función de densidad dada.
Ejemplo
Propiedades de la función de densidad
Sea \((X,Y)\) una variable aleatoria bidimensional continua con función de densidad \(f_{XY}\). Entonces dicha función verifica las propiedades siguientes:
- La integral de dicha función sobre todo el plano vale 1: \[ \int\int_{\mathbb{R}^2} f_{XY}(x,y)\,dx\,dy =1. \] Para ver dicha propiedad, basta considerar \(B=\mathbb{R}^2\), tener en cuenta que el suceso \((X,Y)\in \mathbb{R}^2\) es el total \(\Omega\) y aplicar la definición de \(f_{XY}\): \[ P((X,Y)\in \mathbb{R}^2)=1= \int\int_{\mathbb{R}^2} f_{XY}(x,y)\,dx\,dy. \]
Propiedades de la función de densidad
- La relación que hay entre la función de distribución \(F_{XY}\) y la función de densidad \(f_{XY}\) es la siguiente: \[ F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f_{XY}(u,v)\,du\,dv. \] Para ver dicha propiedad, basta considerar \(B=(-\infty,x]\times (-\infty,y]\) y aplicar la definición de función de distribución: \[ F_{XY}(x,y)=P((X,Y)\in (-\infty,x]\times (-\infty,y])=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f_{XY}(u,v)\,du\,dv. \]
Propiedades de la función de densidad
La relación que hay entre la función de densidad \(f_{XY}\) y la función de distribución \(F_{XY}\) es la siguiente: \[ f_{XY}(x,y)=\frac{\partial^2 F_{XY}(x,y)}{\partial x\partial y}. \] Dicha propiedad se deduce de la anterior, derivando primero respecto a \(x\) y después respecto a \(y\) para eliminar las dos integrales.
Las funciones de densidad marginales de las variables \(X\) e \(Y\), \(f_X(x)\) y \(f_Y(y)\) respectivamente, se calculan de la forma siguiente: \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)\, dy,\ f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)\, dx \]
Ejemplo
Ejemplo anterior
Comprobemos las propiedades usando la función de densidad del ejemplo anterior: \(f_{XY}(x,y)=\begin{cases} 1, & \mbox{ si }0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1, \\ 0, & \mbox{en caso contrario.} \end{cases}\)
La integral de \(f_{XY}\) sobre todo el plano vale 1: \[ \int\int_{\mathbb{R}^2} f_{XY}(x,y)\,dx\, dy=\int_0^1\int_0^1 1\, dx\, dv=\int_0^1 1\, dx\int_0^1 1\, dy=1\cdot 1=1. \]
- Vamos a calcular la función de distribución \(F_{XY}\). Para ello dividimos el plano en 5 zonas tal como muestra la figura siguiente:
Ejemplo
Ejemplo
Sea \((x,y)\) un punto cualquiera de \(\mathbb{R}^2\). De cara a calcular \(F_{XY}(x,y)\) tenemos que averiguar el conjunto intersección siguiente: \(([0,1]\times [0,1])\cap ((-\infty,x]\times (-\infty,y])\) ya que el dominio donde \(f_{XY}\) es no nula es \([0,1]\times [0,1]\) y la función de distribución \(F_{XY}(x,y)\) valdrá: \[ F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f_{XY}(u,v)\,du\,dv =\int\int_{([0,1]\times [0,1])\cap ((-\infty,x]\times (-\infty,y])} f_{XY}(u,v)\,du\,dv. \]
- Caso \((x,y)\in \mbox{Zona A}\) o \(x<0\) o \(y<0\) En este caso: \(([0,1]\times [0,1])\cap ((-\infty,x]\times (-\infty,y])=\emptyset.\) Ver figura siguiente donde la zona morada \(([0,1]\times [0,1]\)) no se interseca con la zona verde (\((-\infty,x]\times (-\infty,y]\)).
Por tanto en este caso, \(F_{XY}(x,y)=0\).
Ejemplo
Ejemplo
- Caso \((x,y)\in \mbox{Zona B}\), o \((x,y)\in [0,1]\times [0,1]\). En este caso: \(([0,1]\times [0,1])\cap ((-\infty,x]\times (-\infty,y])=[0,x]\times [0,y].\) Ver figura siguiente.
Por tanto en este caso, \[ F_{XY}(x,y)=\int_0^x \int_0^y 1\,du\,dv =\int_0^x 1\, du\int_0^y 1\, dy =x\cdot y. \]
Ejemplo
Ejemplo
Dejamos como ejercicio los otros casos. En resumen: \[ F_{XY}(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{ si }x<0, \mbox{ o }y<0,\\ x y, & \mbox{ si }(x,y)\in [0,1]\times [0,1],\\ x, & \mbox{ si }0\leq x\leq 1,\ y>1,\\ y, & \mbox{ si }x>1,\ 0\leq y\leq 1,\\ 1, & \mbox{ si } x>1,\ y>1. \end{cases} \] ¿Os suena?
Ver el primer ejemplo que pusimos del tema. Es la misma variable aleatoria bidimensional. Ahora sabemos que se trata de una variable aleatoria bidimensional continua.
Ejemplo
Comprobemos seguidamente que si derivamos dos veces la expresión de \(F_{XY}\), primero respecto \(x\) y después respecto \(y\), obtendremos la función de densidad \(f_{XY}\).
Si derivamos respecto \(x\) obtenemos: \[ \frac{\partial F_{XY}(x,y)}{\partial x}=\begin{cases} 0, & \mbox{ si }x<0, \mbox{ o }y<0,\\ y, & \mbox{ si }(x,y)\in [0,1]\times [0,1],\\ 1, & \mbox{ si }0\leq x\leq 1,\ y>1,\\ 0, & \mbox{ si }x>1,\ 0\leq y\leq 1,\\ 0, & \mbox{ si } x>1,\ y>1. \end{cases} \] Si ahora derivamos respecto \(y\) obtenemos: \[ \frac{\partial^2 F_{XY}(x,y)}{\partial y\partial x}=\begin{cases} 0, & \mbox{ si }x<0, \mbox{ o }y<0,\\ 1, & \mbox{ si }(x,y)\in [0,1]\times [0,1],\\ 0, & \mbox{ si }0\leq x\leq 1,\ y>1,\\ 0, & \mbox{ si }x>1,\ 0\leq y\leq 1,\\ 0, & \mbox{ si } x>1,\ y>1, \end{cases} \] expresión que coincide con la función de densidad \(f_{XY}(x,y)\).
Ejemplo
Hallemos para finalizar las funciones de densidad marginales. Empezemos con \(f_X(x)\): \[ f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f_{XY}(x,y)\, dy. \] Recordemos que la región donde no se anulaba la función de densidad conjunta \(f_{XY}\) era el cuadrado \([0,1]\times [0,1]\). Por tanto, fijado \(x\), el valor de \(f_X(x)\) será no nulo si la recta vectical \(X=x\) interseca dicho cuadrado. Y esto ocurre siempre que \(x\in (0,1)\). Por tanto, \[ f_X(x)=\begin{cases} \int_{0}^1 f_{XY}(x,y)\, dy=\int_{0}^1 1\, dy=1, & \mbox{ si }x\in (0,1),\\ 0, & \mbox{en caso contrario.} \end{cases} \] Por tanto la variable \(X\) sigue la distribución uniforme en el intervalo \([0,1]\).
Dejamos como ejercicio comprobar que la variable \(Y\) también sigue la distribución uniforme en el mismo intervalo.
Ejemplo 2
Ejemplo
Consideremos la variable aleatoria bidimensional \((X,Y)\) con función de densidad: \[ f_{XY}(x,y)=\begin{cases} c \mathrm{e}^{-x}\mathrm{e}^{-y}, & 0\leq y\leq x < \infty,\\ 0, & \mbox{ en caso contrario,} \end{cases} \] donde \(c\) es un valor que se tiene que hallar para que \(f_{XY}\) sea función de densidad.
Para hallar \(c\), hemos de imponer que la integral de la función anterior debe ser 1 sobre todo el plano \(\mathbb{R}^2\).
Primero fijémonos en como es la región de integración (zona morada de la figura). Fijado un valor \(x\geq 0\), el valor \(y\) va desde \(y=0\) hasta \(y=x\). Por tanto, para calcular el valor de \(c\), hay que hacer lo siguiente:
Ejemplo
Ejemplo 2
\[ \begin{array}{rl} 1 & =\int\int_{\mathbb{R}^2}f_{XY}(x,y)\, dx\, dy=\int_{x=0}^{x=\infty}\int_{y=0}^{y=x} c \mathrm{e}^{-x}\mathrm{e}^{-y} \, dy\, dx =c \int_{x=0}^{x=\infty}\mathrm{e}^{-x}\int_{y=0}^{y=x}\mathrm{e}^{-y}\, dy\, dx \\ & = c \int_{x=0}^{x=\infty}\mathrm{e}^{-x}\left[-\mathrm{e}^{-y}\right]_{y=0}^{y=x}\, dx = c \int_{x=0}^{x=\infty}\mathrm{e}^{-x}\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)\, dx =c \int_{x=0}^{x=\infty}\left(\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}\right)\, dx \\ & = c \left[-\mathrm{e}^{-x}+\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right]_{x=0}^{x=\infty} = c\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{2}. \end{array} \] El valor de \(c\) será \(c=2\).